学生在平时的学习与问题解决过程中， 不可避免地会生成这样或那样的“错”“误”。许多“错误”是由于学生本身没有掌握好或理解透知识方法或技能而形成的“不会”，或者是学生对于已教或尚未教学内容的一种前期理解偏差或后期模糊。然而“错误”一定就是“错” 吗?以下以小学数学教学中学生经常出现的“错”“误”为例，剖析其“错误”发生的真实背景与生成源点以及它们对于教育教学发挥的价值效能。

　　一、倾听声音——透视“错”的生成

　　(一)“错”的生成与分析

　　排除掉学生的一些“意外因素”,如抄错数、计算口诀失灵、笔误、退位进位遗漏等，笔者以为小学数学中生成“错”的原因主要有如下几条：

　　1.算理算法不到位。计算题是学生的多错领域，接触与应用最多，不可避免地会犯一些错误，最主要的还是对算理与算法的掌握存在偏差，对运算法则的内化自觉不够。比如五年级时仍简单易错的“6.15÷3”， 常会有学生口算成2.5。究其原因，表面上看，是受到了明显的“视觉陷阱”，6÷3 商2后便是15÷3商5，所以快速地得到商2.5。但如果仔细分析，内在原因是算理算法指导下运算顺序的“自动化”程度不强， 对除法算式中写商的“序列”掌握不牢。

　　2.概念理解不透彻。概念的理解有顺应亦有同化，学生在概念形成时有没有经历过程、获得内化提升，直接影响其对概念的理解与应用，影响犯错机率。比如，三年级学生常有的判断“一个边长4厘米的正方形， 周长和面积相等”，认为正确的学生多数是以为结果算出都是16，所以相等，却忽略了两个单位所表达的不同内涵。在学习周长或面积认知的时候，教师对教材内容的简单处理与快速归纳总结，导致学生经历的探究与归纳过程不强烈，对概念的内化与感受不深刻，对本质内涵形成了认知偏差。学生的认知缺少经历与概念的形成过程，短期内影响不太明显，但随着知识量的累积增多，将越加容易混淆。

3.经验能力不充足。这种情况主要体现在一些具有一定思维水平的“ 难题” 上，这就需要师生不断有意识地进行问题解决过程的经历、思想方法的积累。比如“11×(+)×7”，可以先算“11×7” 再用乘法分配律，也可以两次简算。此题 的发展性就在于平时教学中主要是将一个“数”进行“分配”，此处却是一个“算式”，渗透了一种代数式的思想。学生的“错”多数原因是对于“数”与“式”的经验不足、简算经验与能力不够。此类习题，经过多次的训练之后也不再成为难度问题了。

　　(二)“错”的处理原则与价值挖掘

　　没有哪个学生真正愿意犯错。教师在教学过程中，千万不要用学生的“错”来惩罚学生或自己，而是要用来陶冶。“错”亦是一种优质教学资源，要多采取保护性对策， 确定相应的处理原则，适时进行价值挖掘， 让学生在明确错的根源的同时，感受到温暖与希望。

　　1.纠改原则——后退中前进。这里所要纠正的是错生成的原因，改的目的是强化正确的思维路径。要求学生一直不犯错是不可能的，教师处理错的首要原则就是有错必纠、有错必改、及时纠改。一些简单的错，只需学生自行纠改;具有一定的共性或普遍性的错则需要教师的智慧与处理艺术。比如，教师很有必要组织学生集体交流“当时解题时你是怎么想的”，通过生生互议或师生互评，暴露出面对问题的思维过程与问题节点，在“后退”中前进， 达到纠错并明理的效用，做对的同学也能从别人的错中获得警示与启发。如果只改错而不找错， 不去明晰“ 错” 发生的根源，学生还会持续犯错，“错”的利用价值便大打折扣。

　　2.追问原则——递进中提升。追问能够让数学的视界递进一步，更加聚焦于数学的知识本质与方法内核。追问的方式方向有许多，最常见的“如果再给你一个重新解决的机会，你会怎么想”“请大家猜猜看他怎么会做错的”，等等，问题的导向也是直指根源的本质，通过学生的自我反思或他人剖析解决问题的过程与思路，从而将“挫折点” 及时调整强化到正确途径上，对注意点也更加用心。如果转换一下视角，应用逆向思维思辨，不妨追问“你觉得只要怎样改条件就做对了”，如此一来，会使得学生更加关注条件与问题的关联度，其思维更加完整与开放，数学眼光更敏锐。

　　3.跟进原则——强化中升华。对于典型的错误，教师仅及时纠改还是不够的，还需要及时进行教学跟进，设计同类训练或变式练习，系统地强化巩固，帮助学生在相似问题解决的过程中得到方法与能力的升华，从而形成能力自觉。比如前面所提到的商中间有0的问题，及时出题“5.25÷5” “2014÷2” “32.64÷16” “8□.6÷4商中间有0，□可以填几”等一系列“类”专题，强化除法序列。

　　二、考量本源——扫描“误”的萌发

　　“误”的发生、发展，主要是学生面对新问题“前在”理解的不足，是基于前期的理解方式或理解能力的自然生成与外显，是本源性的、最为真实的初期反映。它虽因学生主观倾向而形成，却是积极的、有意义的，也是需要在教学过程中加以呵护并探因、明理的。

　　(一)“误”的源点与生长

　　误的萌发因素，有自身的主观原因，也有外在的干扰。“误”并不是一种错，多数情况下只是负向迁移的结果，或者是创造性的想象，是一种本能的原生态体现。

　　1.起点于前期感觉。多数的“误”，起源于自身理解的不足，是学生对于新学习内容的第一感觉与反映，或者是对顺向知识与方法迁移过程中产生的偏差与反转。比如在教学“2.8×3.6”的尝试练习过程中，多有学生受制于一位小数加减一位小数的前期经验，觉得竖式要小数点对齐，结果也要小数点对齐，所以积是一位小数。再如“32×0.15”就有学生认为积应该是48而不是4.8，理由是32怎么会越乘越小呢?这正是基于学生对整数乘法的合情感觉。于学生的初始学习来看，这些“误”的前期经验，是相当顺理成章形成的认知误区，这种对数学知识与内容的感觉，是十分重要的一种学习数学的直觉。而直觉是有正误的，对于进一步的数学学习具有较大的价值。

　　2.起因于推理断层。“误”产生的原因，除了前理解的不足，影响的因素还有在推理过程中的思维断层或方法断裂。比如黄爱华老师在执教“百分数的意义”中的经典片段：

　　师：今天我们全班都穿了校服来了，用一个百分数来表示是——

　　生：100%。

　　师：对!但如果这样呢?(此时老师和一名学生交换了一下位置)

　　生： 9 9 % 。( 此时老师明知是“误”的)

　　师：如果还有一个老师也换走一个学生呢?

　　生： 9 8 % 。( 此时老师却依然不动声色)

　　师：我们继续，再换一次，那就是—— 生：97%。

　　师：把全班都换成老师呢?

　　生：68%。(全班32位学生)

　　会场突然间安静了下来，学生面面相觑。这个结果明显是不对的，什么地方出问题了呢?大家开始犯嘀咕了……

　　过了一会儿，一位学生勇敢地站了起来：“老师，我觉得不对。现在一个穿校服的都没有了，那么穿校服的学生占全班人数的百分比应该是0%啊!

　　此片段中学生对于换走一人就减少一个百分数的简单推理是充满了学生立场，他们的认知经验就是如此。但随着对换走人数的增加，百分数慢慢变得“不正常”而使学生产生了警觉与顿悟。像这种貌似合情的推理，虽然没能得到正确的结论，但由于知识内涵的差异性，推理的断层又是在情理之中的。

　　3 . 起缘于外界误导。有一些美丽的“误”是学生自发催生而成的，但还有一些则是受了外界的干扰，误在教师或他人的不经意诱导。比如，在教学分数的认识之后， 笔者班中有位学生在观察图示写出分数时， 分母总是比正确的分母少1。笔者十分纳闷， 让他说说理由才发现，原来是新授教学比划平均分几份时，错误地以为笔者的手势是指向图中虚线位置上数的份数，从而份数被误导成了虚线的条数，当然相差“1”了。这种情况虽不普遍，但也值得教师引起重视与反思。

　　(二)“误”的处理原则与拓展应用

　　“误”是学生基于自身的生活经验与现有学习水平，用生活化的或极具个性倾向的语言表达对新问题的理解以及自己的想法与观点。如何有效地应用与处理“误”进行教学与拓展呢?

　　1.提炼原则——经历数学化进程。学生囿于前期原始的理解能力，会形成十分“正常”的数学感官与结论，这时就需要教师及时进行引导提炼，明确真正意义上的数学结论。比如，在学习“多位数读法”时，许多学生对于零的读法的规定问题就十分模糊，例如“2002 0030 0400”，不妨从“原生态”读法“二千零零二亿零零三十零万零四百零零”入手，学生感受之后很容易提炼出简洁的读法“二千零二亿零三十万零四百”，在经历化繁为简的过程中自然明确多位数中“0”的读法。这种提炼是学生完全可以达成的，而有些知识水准高的内容提炼要依赖教师进行。比如，新授课中总结归纳乘法分配律，由于一些词语相对比较“专业”，就需在学生前期尝试的基础上，由教师引导，师生共同用数学话语完善表述。

　　2.调向原则—— 体验要义式理解。“误”则表明学生将走向离学习内容更远的方向，此时需教师及时进行调向与掌舵，时机的选择也是大有讲究的。比如，前面案例“百分数的意义”，学生通过前理解得出了百分之99%直至68%的误解，但事实上当学生全部替换完了，理应是0%了。在认识冲突的过程中，黄爱华老师并没有过早介入调向， 而是让学生顿悟“自醒”，反省出答案的荒诞，这是欲擒故纵下学生的自我调向。但更多时候教师应充分进行时机把握，进行介入式调向。比如，“12根相同小棒围长方形” 问题，一开始多有学生认为是长乘宽等于小棒根数，于是教师介入：“你们围成的长方形真的是用了12根小棒吗”，从而将学生一开始的“误”以为12是乘积扭转成长方形的周长。

　　3.互动原则——感受交往式建构。因为“误”是非学生本意的，所以一切错误结果的形成都是没有过错的。“他说得有道理吗?”能够较好地将学生原始状态下的“误果”抛给学生去思辨、去互动交流。在生生或师生的互动过程中，能够更加清晰地将“误”的本质因素推向前台，暴露在师生的眼前。通过互动，学生能更清楚地探寻到形成“误”的起始位置，感受到正确的理解与表达，从而形成合理的学习建构。比如，三年级“对称”判定平行四边形是不是轴对称图形时，多数学生肯定了。基于学生刚刚认知轴对称，思维水平层次较浅，所以这样的结论不能算“错”，而只是“误”。此时就可以引导学生互动“真是这样吗?同桌或四人小组商量商量，也可以动手操作折一折”，最终在交往中建构完善轴对称概念。

　　错误与成功是相对的，我们不应该为避免学生犯错而故意让教师“去差错”，让学生“被正确”;也不应该引导学生获得简易的成功经验，而要使学生适时体会成功有时也是艰辛的，对成功的困难有所准备，今后才不至于遇到挫折而退缩。所以，基于儿童视角，面对“错”“误”，我们有充分的理由与具体行动，通过引导，促使学生的朴素理解上升为数学解读，并让它们好好“生长”!

　　(作者：姚建法，江苏省常州市新北区新华实验小学副校长，中小学高级教师。)